Btn mobile menu gray

Pi bepalen met dartpijltjes

Het getal pi is met afstand het getal waar het meest over geschreven is. In enkele artikelen besteden we aandacht aan dit getal en laten zie je hoe je op verschillende manieren de waarde van pi kunt bepalen. Dit artikel gebruiken we een setje dartpijltjes om na te gaan hoe groot pi ongeveer is.

 

Darten met pi

 De oppervlakte van een cirkel met straal r heeft de waarde

als je daar een vierkant omheen tekent, is daarvan de oppervlakte 

.

Dit komt omdat de straal van de cirkel een halve zijkant van het vierkant is. De hele zijkant is dus 2r. De oppervlakte van een vierkant is dan (2r)2, en dat is 4r2.

Stel nu dat iemand zonder echt goed te mikken een dartpijltje gooit naar een vierkant waarin een cirkel getekend is. De kans dat dit dartpijltje dan binnen de cirkel valt, is pi/4. Dat beteknt dat als je maar genoeg darts gooit en die darts komen in willekeurige plekken binnen het vierkant uit, dan kun je berekenen wat pi is. Deze proef is uitgevoerd en op onderstaand filmpje kun je de resultaten bekijken.

 

De resultaten

Je ziet het vel dat in het filmpje gebruikt is. Je kunt zelf de gaten tellen die binnen een cirkel vallen en de gaten die buiten de cirkel vallen. Let er daarbij op dat je de gaten die ook buiten de grote rechthoek vallen, niet meetelt.

De waarde van pi

Als we dit allemaal per setje van zes pijlen bij elkaar optellen en dan na elke ronde van zes pijltjes opnieuw pi berekenen, komen we op onderstaande waarden. Van links naar rechts zie je de kolom met het aantal pijltjes dat binnen het grote kader was binnen gekomen, daarna hoeveel van deze pijltjes in een cirkel kwamen en tenslotte de waarde van pi die daarmee bepaald wordt. Per regel komt er een beurt bij en worden de aantallen pijltjes in beide kolommen groter. Hoe meer pijltjes er gegooid worden, hoe nauwkeuriger het zou moeten worden.

Je ziet dat na 107 pijlen precies de waarde van 3,14 bereikt is. Daar zit een stukje geluk bij, kans is heel groot dat na nóg een keer gooien de waarde weer gaat afwijken. Zie voor de volledige proef het filmpje halverwege dit artikel. Je ziet overigens ook dat de waarde van 3,14 ook al na 42 pijltjes bereikt was. Je zou eeuwig door kunnen gaan met het gooien van darts maar daar word je ook moe van. Het kan daarom handig zijn om een dergelijke berekening ook door de pc te laten doen. Daar lees je meer over in dit artikel.

Waarom geen enkele cirkel?

 

Je ziet in het filmpje een afbeelding van 12 cirkels die gelijkmatig over het vel verdeeld zijn. Kun je een reden bedenken waarom in het filmpje niet gewoon een grote afbeelding van een enkele cirkel gebruikt is?