Bekijk op bovenstaande video hoe pi bepaald wordt door een modelprogramma. Linksonder in beeld zie je een waarde van pi die telkens verandert maar wel steeds schommelt in de buurt van de 3,14.
Heb je een idee hoe dit model werkt en hoe je hiermee pi kunt bepalen? Denk er eens over na en lees dan verder.
Oppervlakte en kansen
In het model worden random een x en een y gegenereerd. Het punt dat daarmee overeenkomt wordt als blauwe stip weergegeven. Het model is zo ingesteld dat de x en y allebei tussen de -1 en de +1 liggen. Als je dus heel vaak de stip tekent, ontstaat een vierkant. Dit vierkant loopt zowel voor de x-as als de y-as van -1 tot 1 en heeft dus een ribbe van 2. Het oppervlakte is daarmee precies 4.
Behalve de x en de y, genereert het model ook een waarde g. Deze g hoort bij de berekende x en is zo gekozen dat de afstand van het punt (x,g) tot de oorsprong precies 1 is. Alle punten (x,g) samen vormen daarmee een cirkel met een straal van 1. De punten (x,g) worden rood weergegeven. Het oppervlakte van de rode cirkel is uiteraard pi-r-kwadraat en omdat r = 1, is het oppervlakte van de rode cirkel precies pi.
Vervolgens wordt in het model gekeken of y kleiner is dan g. Met andere woorden: of de blauwe stip (x,y) binnen de cirkel valt of juist daarbuiten (de g geeft de grens van de cirkel aan). De kans dat dit het geval is, is gelijk aan de oppervlakte van de cirkel gedeeld door de oppervlakte van het vierkant, oftewel
Dit betekent dat je het aantal keren dat y kleiner is dan g, kunt delen door het totaal aantal keren dat deze y en g berekend zijn. Als je dat getal vermenigvuldigt met 4, zou je pi moeten krijgen. Oftewel:
Dit is precies wat het model doet, na elk rondje wordt een nieuwe waarde voor pi berekend. In het begin gaat dat nog alle kanten op maar na een flink aantal keren doorrekenen, komt het model heel dicht in de buurt van de 3,14.
Model stap voor stap bekeken
Je ziet hieronder het hele model weergegeven, per stap wordt aangegeven wat er in die stap gebeurt.
Wat betekent 'als Rand>0,5 dan kwdx=1' ?
Het commando 'Rand' in het model, geeft een willekeurig (random) getal tussen 0 en 1. Elke keer als deze regel langs komt, genereert de pc een nieuwe waarde. Als deze nieuwe waarde boven de 0,5 ligt, krijgt de variabele kwdx een waarde kwdx=1, anders wordt de waarde kwdx=-1.
Deze afkorting kwdx staat voor 'kwadrant x' en bepaalt dus samen met de variabele kwdy in welk kwadrant de blauwe stip terecht komt. Als kwdx = 1 en kwdy = 1, komt de blauwe stip in het kwadrant rechtsboven trecht. Voor kwdx =-1 en kwdy = 1 komt de blauwe stip in het kwadrant linksboven terecht. In het begin van het filmpje wordt dit geillustreerd met de rood getekende kaders.
Wat betekent 'g:-=kwdy*Sqrt(1-x^2)'
Hiermee wordt de rode stip berekend, oftewel de grens van de cirkel. Door de factor kwdy komt die in het goede kwadrant te liggen. Met de berekening Sqrt(1-x^2) wordt de absolute waarde van g berekend. Sqrt betekent wortel en x^2 betekent x2. Alles bij elkaar is Sqrt(1-x^2)een andere schrijfwijze voor:
Nadat g berekend is, wordt y gegenereerd door de computer.
