Soms word je verrast door de eenvoud die schuilgaat achter iets wat voor je gevoel heel ingewikkeld is. Dat overkwam mij ook toen ik een stukje las over veelhoeken. Daarin stond de formule:
som van de hoeken = n x 180o - 360o
Hierin is n het aantal hoeken in een veelhoek (een zogenoemde n-hoek).
Het verraste me dat deze eenvoudige formule geldt voor elke veelhoek, hoe ingewikkeld van vorm ook. In woorden uitgedrukt zegt de formule namelijk het volgende:
- In een 3-hoek is de som van de hoeken altijd 180o
- Maak je een veelhoek met meer dan 3 hoeken dan is de som van de hoeken door elke extra hoek 180o groter geworden
Toen ik me realiseerde dat deze rekenregel blijft gelden hoe groot of ingewikkeld je de veelhoek ook maakt, wilde ik begrijpen hoe dat kan. Dus ik ging op zoek naar een gemakkelijke uitleg. Wat ik vond kun je lezen in dit artikel.
De eerste uitleg gaat over de formule, de tweede over de rekenregel.
Klik op de kaders om de uitleg (of een deel ervan) zichtbaar te maken.
De formule
Een uitleg met rondlopen, hoeken meten en ... formule maken.
- Loop in gedachten vanuit één van de hoekpunten langs de zijden van de n-hoek.
- Bij elk hoekpunt verandert je looprichting en draai je over een hoek β, soms met de wijzers van de klok mee en soms ertegenin.
- Als je terugkomt bij start ben je uiteindelijk over 360o gedraaid.
- Noem je β positief bij een draaiing met de wijzers mee en negatief bij een draaiing tegen de wijzers van de klok in dan kun je na één rondgang ook zeggen: β1+β2+β3+...+βn=360o.
- Verder geldt voor zowel positieve als negatieve β in elk hoekpunt: α=180o-β (ga maar na).
- Dus
De rekenregel
1. Eerst: de som van de hoeken in een 3-hoek is 180o.
- Teken in elk hoekpunt de aanliggende hoek β.
- Knip de β-hoeken in gedachten uit en voeg ze vanuit één hoekpunt samen.
- Je vindt dan: β1+β2+β3=360o
- In elk hoekpunt geldt verder: α=180o-β
- Dus
2. Dan: een veelhoek maken uit een 3-hoek door toevoeging van extra hoeken.
- Elke 3-hoek (en daarna elke willekeurige veelhoek) kun je op twee manieren uitbreiden met een extra hoek.
- Je breekt als het ware één van de zijden open, bijvoorbeeld AB bij de pijl, en klapt vervolgens de twee resterende stukken naar binnen (manier 1) of naar buiten (manier 2).
Nu alleen nog aantonen dat bij beide manieren de som van de hoeken met 180o toeneemt.
3. Ten slotte: de toevoeging van een extra hoek maakt de som van de hoeken altijd 180o
groter.
Bij manier 1:
- Hoek δ is erbij gekomen en hoek α en β eraf dus netto toename= δ-(α+β).
- Verder geldt: δ=360o-γ en (α+β) =180o - γ (want som van de hoeken in een 3-hoek=180o).
- Dus: δ-(α+β)=(360o-γ)-(180o-γ)=180o erbij.
Bij manier 2:
- Hoek α, β en γ zijn erbij gekomen.
- α+β+γ= som van de hoeken in een 3-hoek=180o.
- dus 180o erbij.