Je kent de stelling van Pythagoras vast wel. Het heeft met meetkunde te maken. Stel dat je een driehoek tekent met één rechte hoek, dat wil zeggen een hoek van 90o. Als je nu de lengte van de zijden bij die rechte hoek a en b noemt, zie figuur 1. Nu kun je de lengte c van de derde zijde berekenen met de stelling van Pythagoras:
Figuur 1: een driehoek met een rechte hoek (rechtsonder). Bron: auteur.
Als bijvoorbeeld zijde a een lengte heeft van 3 centimeter en b van 4 centimeter, dan kun je eenvoudig uitrekenen dat c2 gelijk is aan 9+16 = 25. Om de lengte van c te vinden moet je dan de wortel uit c2 trekken en zo vind je dan dat c een lengte heeft van 5 centimeter.
In formulevorm opgeschreven is dit:
Met getallen:
In figuur 2 zie je weergegeven dat je de stelling ook anders kunt zien. Als je van de twee zijden a en b vierkanten maakt, dat is de oppervlakte van het derde vierkant (die van c) gelijk aan de oppervlakte van de het vierkant bij a plus het vierkant bij b.
Figuur 2: Stelling van Pythagoras. Bron: Wikimedia
Geschiedenis
Deze stelling in genoemd naar Pythagoras, een filosoof en wiskundige die rond 500 voor Christus leefde in Griekenland. Hij stichtte een religieuze sekte die als doel had je eigen verborgen spirituele identiteit te ontwikkelen. Een van de onderdelen van wat Pythagoras en zijn volgelingen onderwezen, was een getallenleer. Zij waren van mening dat getallen de grondslag waren van alles, het waren werkende principes waarmee de wereld en de kosmos verklaard konden worden.
De school van Pythagoras was dus heel sterk met getallen bezig. Pythagoras zelf heeft geen teksten nagelaten. Pas eeuwen na zijn dood hebben wiskundigen de bekende stelling aan Pythagoras toegeschreven en zijn naam eraan gegeven. Het is echter niet zo dat hij die stelling bedacht heeft. De stelling was al veel eerder bekend en werd al gebruikt door de Babylonieërs en Indiërs. Maar het kan zijn dat Pythagoras of zijn volgelingen de eersten waren die de stelling konden bewijzen.
Belang van de stelling
In de eerste plaats is de stelling bijzonder omdat hij zo’n eenvoudig verband geeft tussen de rechthoekzijden en de schuine zijde van een driehoek. Een belangrijke toepassing vind je in de bouwkunde. Voor het maken van rechte hoeken in gebouwen kun je volstaan met drie latten die een verhouding hebben van 3:4:5. Als je daar een driehoek van maakt, moet er een rechte hoek in de driehoek zitten. Als je dan de muren langs de rechthoekzijden bouwt (de zijden a en b in figuur 1), moet de hoek tussen die muren precies recht zijn. Ook voor het maken van daken is de stelling van belang. Als je weet hoe hoog een schuin dak is en hoe breed het gebouw is waar het dak op staat (maal ½) (dan heb je de twee rechthoekzijden), kun je berekenen hoe lang het dak zelf is (de schuine zijde). We nemen hierbij aan dat het dak symmetrisch is.
Verder is de stelling ook van belang voor de wiskunde op zich. Omdat de stelling zo bekend is en was, zijn veel mensen bezig geweest met verschillende bewijzen voor de stelling, wat een stimulans is voor de gehele wiskunde.
Bewijs
Het bijzondere van de stelling van Pythagoras is dus dat er in de loop der eeuwen veel bewijzen voor bedacht zijn. Het zijn er momenteel meer dan 370. Een veel gebruikt bewijs is die waarbij een vierkant wordt verdeeld in vlakken, zoals je ziet in figuur 3.
Figuur 3: Bewijs door het opdelen van een vierkant in vlakken. Bron: Wikimedia
Links in figuur 2 zie je dat het grote vierkant zijden heeft gelijk aan a + b. Hiermee kun je de totale oppervlakte berekenen. Je kunt dit ook doen door naar de oppervlakten te kijken van de kleinere vlakken waar je het grote vierkant in kunt verdelen: een vierkant met zijde a, een vierkant met zijde b en twee rechthoeken met zijden a en b. Zo vind je voor de totale oppervlakte:
Je kunt het grote vierkant ook anders opdelen in vlakken. Dat zie je in rechts in figuur 2. Je ziet dat de totale oppervlakte van het grote vierkant gelijk is aan een vierkant met een zijde c plus nog vier driehoeken met ieder een oppervlakte van oftewel:
Combineer je deze beide vergelijkingen, dan volgt hieruit de stelling van Pythagoras:
Natuurkundig ‘bewijs’
Ook met water kun je de stelling van Pythagoras laten zien. Dat doen ze in het onderstaande filmpje.
Figuur 4: Illustratie van de stelling van Pythagoras met water. Bron: YouTube
Je ziet hierin dat het watervolume in de twee kleine vierkante reservoirs is precies gelijk aan het watervolume in het grote vierkante reservoir.
Pythagoreïsche drietallen
De drie getallen die ik aan het begin noemde, vormen een zogenoemd pythagoreïsch drietal, drie gehele getallen die voldoen aan de stelling van Pythagoras. Daarvan zijn er erg veel, de bekenste is: 3, 4 en 5. Deze was zoals we al zagen ook al ver voor de tijd van Pythagoras bekend bij het maken van de muren van gebouwen.
Maar er zijn er natuurlijk veel meer. Je kunt ze zelf maken door ieder van de getallen met eenzelfde getal te vermenigvuldigen, met 2 bijvoorbeeld. Dan krijg je uitgaande van 3,4,5 het drietal 6,8,10. Deze combinatie van getallen geldt niet als een echt drietal, omdat het tweede gebaseerd is op de eerste door alle drie getallen met hetzelfde getal (hier 2) te vermenigvuldigen.
Je kunt de drietallen natuurlijk ook zelf proberen te vinden, door het te proberen. Verder is er zelfs een rekenmethode, de zogenoemde formule van Euclides, om ze te berekenen. Die formule is wel wat ingewikkeld, maar als je van een uitdaging houdt, kun je eens dit engelse artikel op Wikipedia lezen om te kijken hoe dat werkt.