Lees eventueel eerst het artikel Meten is weten! Is dat echt zo?
Om de slingertijd van een slinger te achterhalen voert Floris 20 metingen uit, zet het resultaat in een tabel (figuur 1) en rekent het gemiddelde uit. Hij vindt voor de gemiddelde waarde van de slingertijd Tg=7,42 s. Om een indruk te krijgen van de spreiding verwerkt hij zijn individuele metingen in een diagram (zie figuur 2).
Figuur 1: De slingertijd 20 maal gemeten
Figuur 2: Spreiding van de individuele metingen Ti en het gemiddelde Tg
Vraag is nu hoe goed Floris de ware slingertijd T w kan bepalen. Als hij slechts één meting had gedaan en had gezegd dat het resultaat van deze meting de ware slingertijd was, dan was deze bewering waarschijnlijk niet correct geweest. De ware slingertijd ligt met grote waarschijnlijkheid in een tijdsinterval:
Ook voor het gemiddelde van alle metingen geldt dat dit waarschijnlijk niet exact de juiste slingertijd oplevert, maar dat de ware slingertijd met grote waarschijnlijkheid in een tijdsinterval ligt.
De korte notatie hiervoor is:
Waarin σ (sigma) de onzekerheid is in T.
Het zal duidelijk zijn dat de grootte van die onzekerheden beïnvloed worden door de spreiding in de metingen en het aantal metingen. We kijken eerst naar de onzekerheid σi en daarna naar σg.
Invloed spreiding en aantal metingen op de onzekerheid σi
We roepen de hulp van wiskundigen in. Zij geven een manier om σi uit te rekenen, namelijk:
- Reken eerst het verschil uit tussen elke individuele meting en de gemiddelde waarde Tg
- Kwadrateer elk verschil
- Bepaal het gemiddelde van alle kwadraten
- Trek de wortel uit dit gemiddelde
Dus in ons voorbeeld:
Alleen ………… wat doe je als je slechts één meting hebt uitgevoerd? Dan klopt er iets niet, want dan krijg je een onzekerheid van nul. En dat is raar, 100% zekerheid met slechts één meting terwijl je er eigenlijk niets over kunt zeggen!? Dit probleem lossen we op door in de formule niet te delen door het aantal metingen, maar door het aantal metingen minus 1. Bij slechts één meting komt er dan 0/0 (nul gedeeld door nul) te staan en daar kun je óók niets over zeggen.
Dus beter:
Sigma bepalen als standaardfunctie in excel
Hier vind je een snelle manier om met Excel het gemiddelde en de twee soorten spreidingen uit te rekenen. De eerste spreiding wordt aangegeven met σn en de tweede met σn-1
Bekijk de film rechtstreeks youtube om te kunnen omschakelen naar een groter formaat.
Wat betekent een onzekerheid van 0,12 s?
Doordat wiskundigen de onzekerheid zó hebben gedefinieerd krijgt σ een aparte betekenis, namelijk:
- Bij een experiment met veel metingen zullen 68% van de individuele metingen vallen in het gebied tussen Tw–σi en Tw+σi
Je kunt dat ook anders formuleren:
- Voor elke individuele meting Ti geldt dat de kans 68% is dat Tw ligt in het gebied tussen Ti-σi en Ti+σi
Daarmee heeft σ de betekenis gekregen van de onzekerheid in een individuele waarneming Ti. Dat betekent dat Floris in zijn proef 20 mogelijke waarden voor Tw heeft gevonden met een onzekerheid van 0,12 s in elke individuele meting Ti, namelijk:
Invloed spreiding en aantal metingen op de onzekerheid σg
De onzekerheid in het gemiddelde zal kleiner zijn dan de onzekerheid in een individuele meting.
Met wiskunde kun je afleiden dat deze spreiding verkleind wordt met een factor dus in ons geval met een factor
. Dat betekent dat de ware slingertijd Tw gelijk is aan de gemiddelde waarde Tg met een onzekerheid van
Als eindresultaat van het slingerexperiment vindt Floris dus:
Samengevat
Als je de ware waarde van een grootheid (Xw) wilt vinden door de meting n keer te herhalen dan ligt Xw met een kans van 68% binnen het interval .
Dit schrijven we als
Voor de gemiddelde waarde (Xg) geldt:
en voor de onzekerheid (σg) geldt:
Toepassing
Het berekenen van de onzekerheid is bijvoorbeeld belangrijk als je wilt weten of de gemeten waarde van een grootheid X in twee series metingen van elkaar verschillen (zie figuur 3).
Figuur 3: Meetwaarden van grootheid X in twee series metingen
Om te beslissen of de waarden X1 en X2 echt van elkaar verschillen moet je weten hoe groot de onzekerheid is in dat verschil X2-X1. Is die onzekerheid bijvoorbeeld groter dan het verschil zelf dan kun je niet echt zeggen dat er een verschil is. Maar hoe bereken je nu de onzekerheid in X2-X1 als de onzekerheden in X1 en X2 respectievelijk σ1 en σ2 is?
Gelukkig hebben wiskundigen ook dát voor ons uitgedokterd:
Ga na of er een echt verschil zit in de volgende tweetal waarnemingen:
- T1=7,42 ± 0,03 s en T2=7,45 ± 0,05 s
- T1=7,47 ± 0,02 s en T2=7,40 ± 0,02 s
- T1=7,51 ± 0,09 s en T2=7,38 ± 0,08 s
Vergelijk je antwoorden met de antwoorden die hier staan.
