Btn mobile menu gray

Van Galilei’s ontdekking naar formule

Wiskundige beschrijving van een versnelde beweging

 
 
Galilei ontdekte dat de beweging van een rollend voorwerp langs een hellend vlak als volgt is te beschrijven.

De wegen die het voorwerp aflegt in opeenvolgende gelijke tijdsintervallen,
verhouden zich als 1:3:5:7: ………..

 

Deze wetmatigheid heb je kunnen herontdekken in het proefje Freewheelend een helling af.
Hiermee kun je voorspellen hoeveel afstand het voorwerp in elk gelijk tijdsinterval aflegt als je weet hoeveel het voorwerp heeft afgelegd in het eerste tijdsinterval.

In deze opdracht zul je zien dat je de beschrijving van Galilei nog korter kunt formuleren, namelijk met een formule. En die formule ga je zelf ontdekken.

Plaats en tijd


Met de formule kun je op elk tijdstip de plaats uitrekenen waar het voorwerp zich bevindt t.o.v. de start (de oorsprong). Gebruikelijk is om de tijd aan te geven met het symbool  t en de plaats met s (spatium).

Stel eens, dat we de helling van de goot zo hadden ingesteld, dat de afgelegde weg van de kogel in de eerste 5 seconden 10 cm bedraagt.
Voorspel m.b.v. de ontdekkingen van Galilei welke plaats de kogel inneemt telkens 5 seconden later.  Je kunt de resultaten vermelden in het voorbeeld van onderstaande tabel. 

Regelmaat


Er is een duidelijke regelmaat te ontdekken in deze tabel:


 
Als de tijd 2,3,4,5,……. keer groter wordt, wordt de plaats 4,9,16,25,……. keer groter. Dit wijst op een kwadratisch verband.

 


Formule


Probeer nu de formule te ontdekken die voor deze beweging  het precieze verband aangeeft tussen de tijd t en de plaats s dus

 

 

Met een formule kun je de plaats van een bewegend voorwerp gemakkelijker voorspellen dan met de beschrijving van Galilei. Je kunt immers op elk gewenst tijdstip die plaats meteen uitrekenen. En met de beschrijving van Galilei kun je alleen de afgelegde afstand voorspellen in elk volgend tijdsinterval.Daarna moet je nog afstanden optellen om de plaats te vinden.

 

Snelheid en tijd


Er is nog iets bijzonders te ontdekken, namelijk over de manier waarop de snelheid verandert. Het is duidelijk dat deze gaandeweg de beweging steeds groter wordt. Maar hoe verloopt dit groter worden nou precies met de tijd?

Voor snelheid gebruiken we het symbool v (velocitas).
Het bepalen van de snelheid op een bepaald tijdstip is een lastige zaak omdat deze voortdurend verandert. Toch is er een manier om iets te kunnen zeggen over het verloop van die snelheid n.l. door te kijken naar het verloop van de gemiddelde snelheid in steeds kleinere tijdsintervallen. De gemiddelde snelheid vind je door de afstand die wordt afgelegd in een tijdsinterval te delen door dat tijdsinterval. In het voorbeeld van onderstaande tabel zie je in kolom 3 en 4 hoe dat moet voor de beweging die we in deze opdracht aan het onderzoeken zijn.


  
    

 

  • Vul zelf de laatste twee kolommen van deze tabel in
  • Maak een grafiekblad volgens onderstaand voorbeeld en verwerk het resultaat van de laatste twee kolommen zoals dat gedaan is voor kolom 3 en 4

 

 

 

Heb je enig idee hoe de grafiek van de snelheid eruit komt te zien? En hoe de formule eruit ziet die het verband aangeeft tussen de tijd en snelheid, dus:

 

  

Presentatie


Wil je over dit onderwerp een presentatie geven dan volgen hier een paar suggesties.

  • Voer zelf het experiment uit zoals dat beschreven is in Freewheelend een helling af
  • Maak foto’s van de opstelling
  • Leg de beweging met een camera vast
  • Maak een mooie powerpoint-presentatie van de ontdekking van Galilei
  • Verwerk in je powerpoint de manier waarop je de formules hebt gevonden