Eén waterdruppel maakt nog geen regenboog!

Als zonlicht op een waterdruppel valt gebeurt er iets wat je ook vaak ziet bij een stuk glaswerk dat in de zon ligt. Uit sommige plekken van het glaswerk komt gekleurd licht en geeft in de nabijheid van een muur een afdruk die lijkt op een stukje van een regenboog. Maar is dit wel te vergelijken met de regenboog die je op de foto van figuur 1 ziet? In dit artikel wordt deze vraag beantwoord.

Ontstaan regenboog

Om te begrijpen hoe de regenboog ontstaat moeten we eerst gaan kijken wat er met licht gebeurt dat op een waterdruppel valt. In figuur 2 is dat getekend voor een lichtstraal die bij punt A op de druppel valt. Daar wordt het voor een deel weerkaatst en voor een deel gebroken. Dat proces zal zich herhalen telkens wanneer de lichtstraal de rand van de druppel bereikt (bij B, C ….). De lichtstraal die binnen de druppel blijft zal daardoor bij elke weerkaatsing iets minder sterk zijn totdat hij niet meer waarneembaar is.

Bij het ontstaan van de regenboog gaat het om de lichtstraal die na weerkaatsing bij C weer uit de druppel komt. De hoek ω die deze lichtstraal maakt met de binnenkomende lichtstraal hangt af van de plaats waar de lichtstraal de druppel in gaat. Je kunt dat zelf onderzoeken met een heel simpel proefje. In plaats van een druppel neem je een laagje vloeistof in een rond doorzichtig bakje en schijn je van opzij met een lichtbron tegen het bakje. Met een beetje oefenen kun je dan zien hoe de lichtstraal door de vloeistof gaat en er weer uitkomt. In het filmpje van figuur 3 zie je een bovenaanzicht van dit proefje waarin als vloeistof slaolie is genomen en als lichtbron een laserpen. Start het filmpje en let op de lichtstraal die bij C (figuur 2) weer uit de vloeistof komt.

Figuur 3: Het volgen van de lichtstraal. Bron: auteur.

Heb je dat gezien? Als de lichtbron op het midden van de ‘druppel’ schijnt en vervolgens opzij wordt geschoven neemt de hoek tussen de teruggekaatste en binnenkomende lichtstraal (ω) eerst toe tot een maximale waarde en daarna weer af. Die maximale hoek is afhankelijk van de kleur licht omdat niet elke kleur even sterk wordt gebroken bij de grensovergang van lucht naar de vloeistof en omgekeerd. Bij water ligt deze maximale hoek tussen 40,9^o (voor violet licht) en 42,5^o (voor rood licht).

Kleurenkegels

Door de bolvorm van de waterdruppel zal het terugkomende licht de vorm hebben van een kegel met een tophoek die afhangt van de kleur licht. In figuur 4 zie je een afbeelding van drie van deze kleuren.

De figuren laten ook zien dat de intensiteit laag is in het midden van de kegel, toeneemt richting de rand en sterk toeneemt in de buurt van de rand. In figuur 5 is dat verloop voor de drie kleuren schetsmatig in grafiek gebracht.

Dat de intensiteit richting de rand toeneemt komt onder andere doordat ω weer kleiner wordt nadat hij zijn maximale waarde heeft bereikt zoals je in het filmpje hebt kunnen zien. Daardoor komen bij de rand een extra aantal lichtstralen uit de kegel.

Wat betekent dat voor zonlicht dat na één weerkaatsing de druppel aan de voorkant weer verlaat? Ofwel wat is het resultaat van de overlap van al deze kleurenkegels? Het zal resulteren in een kegel gevuld met wit licht waarvan de intensiteit toeneemt richting de rand en een rand waar de kleuren gescheiden zijn. Het witte licht ontstaat door de overlap van alle kleuren en de gescheiden kleuren aan de rand ontstaan doordat elke kleur zijn eigen maximale hoek heeft. 
In figuur 6 zie je een afbeelding waarin alleen de top van zo’n complete kegel is getekend.

Waarnemer

Wat betekent dat voor een waarnemer die zijn blik richt op heel veel waterdruppels die beschenen worden door de zon? Als hij de kleuren van de kleurenkegels wil zien moet hij in ieder geval met zijn rug naar de zon staan, want alleen in dat geval kan het licht uit een kegel in zijn oog vallen. In figuur 7 zie je een vereenvoudigde weergave van deze situatie waarin een paar waterdruppels zijn getekend, elk met hun kegelas naar de zon gericht. Slechts het topje van elke kleurenkegel is hier weer getekend. In de figuur is ook het punt aangegeven waar de schaduw van het hoofd van de waarnemer gevormd wordt, het zogenoemde antisolaire punt. Straks zal blijken wat het belang is van dit punt bij het ontstaan van de regenboog.

Wat de waarnemer van het geheel krijgt te zien kun je het best onderzoeken door eerst te kijken in een verticaal vlak dat evenwijdig loopt aan de zonnestralen en door het antisolaire punt gaat. De druppels die in dit vlak liggen worden met hun kleurenkegels doorsneden door dit vlak waardoor oneindig lange driehoeken ontstaan ieder met hun tophoek op een druppel. Ze zijn wit van binnen en gekleurd aan de zijkanten. In figuur 8 zijn de beginstukken van een paar van deze driehoeken getekend.

Kleur van een regendruppel

In welke kleur de waarnemer een druppel ‘ziet’ hangt af vanuit welk gedeelte van de driehoek het licht komt dat naar de waarnemer gaat. Komt dit licht uit het middendeel van de driehoek dan is de druppel witachtig van kleur, komt het uit de rand dan is de druppel gekleurd. Kijkt een waarnemer in de richting van het antisolaire punt dan ziet hij druppels heel zwak in het wit. Als hij hoger kijkt wordt de kleur steeds witter totdat hij druppels tegenkomt die respectievelijk paars, blauw, groen, geel, oranje en rood zijn. Verder omhoog gaande zitten druppels die hij niet meer kan zien omdat geen enkele lichtstraal uit de bijbehorende kleurenkegels de waarnemer bereikt. In figuur 8 is rechts met een kleurenbalkje aangegeven in welke kleur de waarnemer de druppels in de betreffende richting ziet.

Regenboog

We hoeven nog maar één stap te zetten om de regenboog te zien ontstaan. Daartoe laten we het verticale vlak van figuur 8 draaien om de as die loopt van de waarnemer naar het antisolaire punt. In elk gedraaid vlak kunnen we dezelfde redenering gebruiken met hetzelfde resultaat. Het beeld dat dan ontstaat is dat van een gekleurde boog rond het antisolaire punt: de regenboog, een samenspel van alle kleurenkegels uit een ontelbaar aantal waterdruppels.

Opmerkingen:

1. Uit figuur 7 blijkt dat de waarnemer de boog ziet onder een hoek die gelijk is aan de halve tophoek van de kleurenkegel, dus 42^o ten opzichte van het antisolaire punt.

2. Een regenboog kan hoger of lager aan de hemel staan. In figuur 8 zie je dat de stand van de zon bepaalt hoe hoog de regenboog aan de hemel staat. Hoe lager de zonnestand hoe hoger de regenboog verschijnt.

3. Een regenboog zou eigenlijk een volledige cirkel moeten zijn ware het niet dat de grond dat voorkomt. Vervang je de grond door een regenwolk dan zou de regenboog cirkelvormig zijn. Die situatie kan zich voordoen als je bijvoorbeeld vanuit een vliegtuig een regenboog waarneemt.

Connie Morsing