Hoe bereken je oppervlakte en inhoud?

Het berekenen van de oppervlakte van een rechthoek of de inhoud van een blokje is niet zo moeilijk, maar wat nu als je de oppervlakte van een cirkel, of de inhoud van een bol, cilinder of kegel wilt berekenen?

Het berekenen van de oppervlakte is eigenlijk niets anders dan het tellen hoeveel standaardhokjes er in de vorm passen. Een standaardhokje kan bijvoorbeeld een hokje van 1 centimeter bij 1 centimeter zijn, zoals in je wiskundeschrift. Heb je net een mooie foto van je kat laten afdrukken voor in je fotolijstje van 10 cm x 15 cm, dan passen hier 15 x 10 =150 hokjes van 1 cm x 1 cm in. De oppervlakte van de foto is dus 150 cm².

Figuur 1: Een foto van 10 x 15 kun je verdelen in 150 vakjes van 1 cm x 1 cm. Bron: Sciencespace.

De oppervlakte bereken je zo: 

Figuur 2: Berekenen oppervlakte rechthoek. Bron: Sciencespace.

Volume berekenen

Ook bij het berekenen van de inhoud van een vorm tel je het aantal standaardeenheden dat hierin past. Hier gaat het dan natuurlijk niet om vlakjes, maar bijvoorbeeld om het aantal kubussen van 1 cm x 1 cm x 1 cm dat in een bepaalde vorm past. Voor een rechthoekige vorm – in de wiskunde noem je dat een balk – is dat eenvoudig. Heb je bijvoorbeeld net nieuwe schoenen gekocht die in een doos zitten van 30 cm x 20 cm x 10 cm, dan passen hier 30 x 20 x 10 = 6000 blokjes van 1 cm³ in. De inhoud van de schoenendoos is dus 6000 cm³.

Figuur 3: Een schoenendoos van 30 cm x 20 cm x 10 cm kun je opdelen in 6000 blokjes van 1 cm³. Bron: Sciencespace.

De inhoud van een balk bereken je zo:

Figuur 4: Berekenen inhoud balk met lengte l, breedte b en hoogte h. Bron: Sciencespace.

Om de inhoud te bepalen, vermenigvuldig je dus de oppervlakte van het grondvlak van de balk (lengte x breedte) met de hoogte van de balk.

Omtrek cirkel

De oppervlakte van een cirkel berekenen is lastiger. Je kunt hierbij niet zo gemakkelijk het aantal hokjes tellen dat in de cirkel past. Laten we eens kijken wat er bekend is over de cirkel. Misschien heb je wel eens gehoord van het getal ‘pi’ ()dat veel gebruikt wordt in de wiskunde. Dit is het getal dat je gebruikt om de omtrek van een cirkel te berekenen. De omtrek van een cirkel is namelijk gelijk aan de diameter van de cirkel (2x de straal van de cirkel oftewel 2.r) vermenigvuldigd met het getal  (=3,14).

Figuur 5: Berekenen omtrek cirkel met straal r. Bron: Sciencespace.

Oppervlakte cirkel

Hoe bereken je nu de oppervlakte van een cirkel? Kijk eens wat er gebeurt als je een cirkel tekent, met hieromheen een vierkant en erin ook een vierkant.

Figuur 6: Cirkel met er omheen en er binnenin een vierkant. Bron: Sciencespace.

Als de straal van de cirkel r is, dan is de oppervlakte van het buitenste vierkant 2.r x 2.r = 4.r². Als je goed kijkt, zie je dat de oppervlakte van het binnenste vierkant precies de helft is van het buitenste vierkant. Dit vierkant heeft dus een oppervlakte van 2.r². Zoals je ziet, zit de oppervlakte van de cirkel hier ergens tussenin. Dat betekent dat het getal waarmee je r² vermenigvuldigt ergens tussen de 2 en de 4 ligt. Wat blijkt nu, de oppervlakte van de cirkel is .r² en is dus 3,14 x r²!

Figuur 7: Berekenen oppervlakte cirkel met straal r. Bron: Sciencespace.

Inhoud cilinder

Nu gaan we kijken naar het berekenen van de inhoud van een cilinder. Net als bij de balk bereken je de inhoud door de oppervlakte van het grondvlak te vermenigvuldigen met de hoogte van de cilinder. Aangezien het grondvlak een cirkel is, is de inhoud van een cilinder met hoogte h:

Figuur 8: Berekenen inhoud cilinder met een grondvlak met straal r en een hoogte h. Bron: Sciencespace.

Inhoud kegel

Bij een kegel kun je niet zomaar de oppervlakte van het grondvlak vermenigvuldigen met de hoogte, want de kegel wordt naar boven toe steeds smaller. Wat je wel kunt doen, is de kegel opdelen in meerdere schijven. Van deze schijven bereken je de inhoud (dit zijn allemaal cilinders) en die tel je bij elkaar op. Neem bijvoorbeeld een kegel met als grondvlak een cirkel met straal 4 cm en een hoogte van 4 cm. Je deelt de kegel op in schijven met een straal van de grondcirkel van 4, 3, 2 en 1 cm. De totale inhoud van deze vier schijven is nu:

.4² .1+ .3² .1+.2² .1+.1² .1 = . (16+9+4+1) = .30 = 94,3 (cm³).

Figuur 9: Kegel met grondvlak met straal 4 en hoogte 4 opgedeeld in 4 ringen. Bron: Sciencespace.

Zoals je ziet in de figuur is de inhoud van de vier schijven behoorlijk groter dan de inhoud van de kegel, maar als je de schijven steeds dunner maakt, dan kom je steeds dichter in de buurt van de werkelijke inhoud van de kegel. Wat je zo uiteindelijk vindt is:

Inhoud kegel = ⅓ x grondoppervlakte kegel x hoogte kegel = ⅓ .r².h

Figuur 10: Berekenen inhoud kegel met een grondvlak met straal r en een hoogte h. Bron: Sciencespace.

Reken je nu voor de kegel met een straal 4 en hoogte 4 de inhoud uit, dan zie je dat dit 67 cm³ is.

Volume bol

Nu wil je het volume van een bol berekenen. Dat is lastig, want een bol heeft geen grondvlak en in de hoogte varieert de diameter. Hoewel je het misschien niet meteen zou denken, is er een verband tussen de inhoud van een bol en van een cilinder. Archimedes, de Griek uit de oudheid die de meeste mensen kennen van zijn theorie over opwaartse kracht, vond uit dat de verhouding tussen de inhoud van een bol en de cilinder die deze bol omsluit 2 : 3 is.

Figuur 11: Bol met straal r die opgesloten zit in een cilinder met een hoogte van 2r. Bron: Sciencespace.

In het volgende filmpje zie je hoe dit precies zit.

Figuur 12: De verhouding tussen de inhoud van een bol en een cilinder waarin je deze bol opsluit is 2 : 3. Bron: YouTube.

Aangezien de inhoud van een cilinder met een grondvlak met straal r en een hoogte van 2r gelijk is aan .r².2r = 2..r³ kunnen we dus afleiden dat de inhoud van de bol 2/3. 2..r³ = 4/3..r³ is.

Figuur 13: Berekenen inhoud bol met straal r. Bron: Sciencespace.

Opgave inhoud ballen

Je weet nu hoe je de inhoud van een bol kunt berekenen. Hier zie je een tabel met de straal van een aantal verschillende ballen.

a. Reken uit wat de inhoud is van de knikker, golfbal, honkbal, voetbal en de basketbal. 

b. Hoeveel knikkers passen er in de verschillende soorten ballen als je alleen kijkt naar de inhoud van de knikker en de bal?